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シアトル生活はじめました

20年以上すんだ東海岸から西海岸に引っ越してきました。MicrosoftのUniversal Storeで働いてます。

モンティーホール問題を「紙」を使って理解する

by-s.me

 

モンティーホール問題の話題をFB友達がしていて、自分もたまたま記事にある番組をつべで一か月前ぐらいだったかに見て、その時、自分なりに納得いく説明を思いつきました。妻にもこの説明を試しにしてみたら分かりやすい、っと言ってもらえたんですが、どうでしょう。

こうです。

ゲームはドアではなくカップを使います。景品はヤギではなくコインとします。なぜかというと、私の説明は「紙を2枚」を使うんで、ドアとかヤギとか大きいのは乗せにくいんです!

さて、三つのカップがあって、そのうちの一つにコインが入っている。

一つのカップを適当に選びます。で、ここでレターサイズぐらいの紙を一枚テーブルに置いて、自分の選んだカップをこの紙の上に置いて「1/3」っと「当たる確率」を「紙」に書いておきます。油性ペンで書くといいでしょう。あくまでもこの「紙」がコインを含む確率です(もちろんカップという容器を経由しての話ですが)。これを「紙1」とします。

次に残ったカップ二つを別の紙の上に置き、同じように「2/3」と「当たる確率」を「紙」に書き、紙2と呼びます。紙2の上に(カップという容器を介して)コインがある確率が「2/3」ということです。油性ペンで書くことで、確率が変わらないということが直感的に理解できます。

さて、ここでゲームが動きます。

司会者が紙2の内の一つのカップを開きます。司会者は「知ってて」コインの入っていないカップを開けてくれるんです。なんで?って思いますが、そういうゲームなんです。なんらかの手段で司会者は二つのカップのうち、必ずハズレであるカップを開けてくれるのです(どちらもハズレかもしれません)

さて、残ったものをよく見てみると、

紙1 にカップが一つ乗っている状態。紙1がコインを含む確率は1/3のまま。

紙2 にカップが一つ乗っている状態。紙2がコインを含む確率も2/3のまま。

紙1と紙2の「当たる確率」はなんら変わっていません。

ここで、司会者が「もういちどチャンスを上げます。最初に選んだカップのままでもいいし、別のカップを選んでもいいですよ」っと言います。

(実はここで、全く別のゲームが始まっているんですが、気づきにくいです。後述)

ここで、意識を「カップ」ではなく「紙」に向けると、「紙2の2/3」の方が「紙1の1/3」よりいいに決まっている、っと分かります。

紙2にはカップが一つしか残っていないので、「紙2の当たり確率」はそのままその「残り一つのカップ」に継承されます。

ということで、「紙1の上のカップから、紙2に残っているカップに変更することで、当てるチャンスを 1/3 から 2/3 に改善する」ことが出来るわけです。

どうでしょう?

ちなみに、「全く別のゲーム」とは、司会者がゲームの内容をリセット、というより全く別のものにセットアップしてしまったんです。だって司会者が「知っていてわざとハズレを見せてくれる」ってだけで「最初のゲーム」は崩壊してます。
なのに、心理的いは最初のゲームの「当たる確率は1/3のまま」という印象を引きずってしまうことで、「いまさら別のカップを選んだって、そっちだって1/3 だし、今のカップだって1/3 だし、同じじゃん」っと錯誤してしまう、というのがこのゲームのキモだと思います。この錯誤を回避する手段として「紙」を選択の対象にする、というのがいいやり方かなと思ったわけです。

迷ったり、忘れたりしたら、「紙を2枚用意して、紙に確率を書く」を思い出せばいいと自分の中では解決しました。